El jacobià

La idea

La FK i la IK parlen de posicions. El jacobià J parla de velocitats: derives les fórmules de la FK respecte dels angles i en surt una matriu.

v = J · ω (ω: velocitats de les articulacions; v: velocitat de la mà)

Cada columna de J és el que mou la mà una sola articulació; la mà en fa la suma.

Dues baules

J = [[−L1·sinθ1 − L2·sin(θ1+θ2), −L2·sin(θ1+θ2)], [L1·cosθ1 + L2·cos(θ1+θ2), L2·cos(θ1+θ2)]]

Exemple (L1 = L2 = 1, θ1 = 0°, θ2 = 90°): J = [[−1, −1], [1, 0]]. Si només gira l’articulació 1 a 1 rad/s, v = (−1, 1): perpendicular al radi, a √2.

A l’inrevés

Per moure la mà a una velocitat donada: ω = J⁻¹ · v. És el jog cartesià d’un braç. La IK numèrica fa passos petits Δθ = J⁻¹ · Δx fins a arribar-hi.

Forces: τ = Jᵀ · F dona els parells per empènyer amb una força F.

Singularitat

det J = L1 · L2 · sinθ2. Amb θ2 = 0° o 180° (braç estirat o plegat) val 0 i J no es pot invertir: la mà no es pot moure al llarg del braç. A prop d’aquest punt, els motors haurien de girar molt de pressa per moure una mica la mà.

A la demo

Amb «θ2 = 90°», mou ω1: la fletxa blanca és la suma de les dues de colors (les columnes de J). Passa a «Gairebé estirat» i «Estirat»: l’el·lipse de velocitats possibles s’aplana fins a ser una línia. A «De la mà a les articulacions», a prop de la singularitat les barres es tornen vermelles.