El Jacobiano

La idea

FK e IK hablan de posiciones. El Jacobiano J habla de velocidades: derivas las fórmulas de FK respecto a los ángulos y sale una matriz.

v = J · ω (ω: velocidades de las articulaciones; v: velocidad de la mano)

Cada columna de J es lo que mueve la mano una articulación sola; la mano hace la suma.

Dos eslabones

J = [[−L1·sinθ1 − L2·sin(θ1+θ2), −L2·sin(θ1+θ2)], [L1·cosθ1 + L2·cos(θ1+θ2), L2·cos(θ1+θ2)]]

Ejemplo (L1 = L2 = 1, θ1 = 0°, θ2 = 90°): J = [[−1, −1], [1, 0]]. Si solo gira la articulación 1 a 1 rad/s, v = (−1, 1): perpendicular al radio, a √2.

Al revés

Para mover la mano a una velocidad dada: ω = J⁻¹ · v. Es el jog cartesiano de un brazo. La IK numérica da pasos pequeños Δθ = J⁻¹ · Δx hasta llegar.

Fuerzas: τ = Jᵀ · F da los torques para empujar con una fuerza F.

Singularidad

det J = L1 · L2 · sinθ2. Con θ2 = 0° o 180° (brazo estirado o plegado) vale 0 y J no se puede invertir: la mano no puede moverse a lo largo del brazo. Cerca de ella, los motores tendrían que girar muy rápido para mover la mano un poco.

En la demo

Con «θ2 = 90°», mueve ω1: la flecha blanca es la suma de las dos de colores (las columnas de J). Pasa a «Casi estirado» y «Estirado»: la elipse de velocidades posibles se aplasta hasta ser una línea. En «Mano a articulaciones», cerca de la singularidad las barras se ponen rojas.